Εδώ θα βρείτε:
1. Υποστηρικτικό υλικό από τον Μόσχο Αλέξανδρο.
Α΄ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Β΄ ΦΥΛΛΑΔΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 - 2015
24/4/2014
Προσέξτε την παρακάτω άσκηση. Δώστε προσοχή σε δύο διαφορετικούς τόπους λύσης της.
Λύση 1 : α = 65° ως κατακορυφήν γωνίες.
β = 65° γιατί οι γωνίες α , β είναι εντός εναλλάξ.
γ = 65° γιατί οι β , γ είναι κατακορυφήν.
δ = 180 ° - 65° = 115° ως παραπληρωματικές γωνίες.
Λύση 2 : β = 65° γιατί είναι εντός εκτός κι επί τα αυτά.
α =65° ως κατακορυφήν
γ = 65° γιατί οι α , γ είναι εντός εκτός κι επί τα αυτά.
δ = 180 ° - 65° = 115° ως παραπληρωματικές γωνίες.
22/4/2015
Kανόνες προσήμων στον πολλαπλασιασμό και στην διαίρεση :
2/4/2015
Ύλη του τεστ μετά τις διακοπές του Πάσχα.
1. Πρόσθεση κι αφαίρεση ρητών αριθμών.
Παραδείγματα : α. -15 + 23 = + 8 , 15 - 23 = -8 , -15 - 23 = -38
β. (-5) - ( +8) = - 5 - 8 = - 13 , (- 9) - (- 5) = - 9 +5 = - 4
γ. Βάλτε στις τελίτσες το πρόσημο που λείπει ώστε να είναι σωστές οι ισότητες :
.... 6 - 7 = - 1 , - 8 ....11 = 3 , -12 .... 8 = ... 20
2. Άθροισμα πολλών προσθετέων :
Βήματα : 1. Διώχνουμε τους αντίθετους όρους αν υπάρχουν.
2. Χωρίζουμε τους θετικούς κι αρνητικούς αριθμούς.
3. Κάνουμε τις πράξεις.
Παράδειγμα : Να υπολογίσετε : -4 + 6 - 9 +11 + 4 + 9 -17 - 12 +8
Λύση : +6 + 11 -7 -12 + 8 = +6 +11 +8 - 17 -`12 = 25 -29 = - 4
3. Απαλοιφή παρενθέσεων.
Βλέπε παρακάτω την καταχώρηση στις 1/4/2015
Προσοχή : Πρώτα θα απαλείφετε παρενθέσεις και μετά θα διώχνετε αντίθετους.
Νέο παράδειγμα : - ( -5 +8 -4) - ( 7 -4 +6 + 8) +( -5 + 9) = +5 - 8 +4 - 7 +4 -6 -8 -5 +9 = 4 +4 +9 -8 - 7 -6 - 8 = 17 - 29 = - 12
1/4/2014
Απαλοιφή παρενθέσεων
1. Αν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο + ή δεν υπάρχει πρόσημο , διώχνουμε την παρένθεση και το + και γράφουμε τους όρους της ακριβώς όπως είναι.
2. Αν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο - , διώχνουμε την παρένθεση και το - και γράφουμε τους όρους της με αλλαγμμένα πρόσημα.
Παραδείγματα : (-5) - ( +7) = -5 -7 = -12
(+7) - ( + 9) = +7 - 9 = -2
-( - 5) - ( +8) = +5 -8 = -3
(-7 ) +( -8) -(-5) + ( -6) - ( +9) = -7 - 8 + 5 - 6 -9 =-7 -8 - 6 -9 + 5 = -30 + 5 = -25
28/2/2015
Ασκήσεις στα ποσοστά
Πρόβλημα 1. Ένα σακάκι αξίας 80 ευρώ πωλείται στην περίοδο των εκπτώσεων με έκπτωση 30%. Ποια είναι η τελική τιμή του με την έκπτωση;
1ος τρόπος : Η έκπτωση ισούται με : 30/100 Χ 80 = 24 ευρώ
Τελική τιμή = Αρχική τιμή - Έκπωση = 80 - 24 = 56 ευρώ
2ος τρόπος : Με το πινακάκι των ανάλογων ποσών.
Αρχική τιμή 100 80
Τελική τιμή 70 x
100 x = 70 . 80
100 x = 5600
x = 5600 : 100
x = 56 ευρώ
Πρόβλημα 2. Μια τηλεόραση πωλείται προς 150 ευρώ χωρίς Φ.Π.Α. Ποια είναι η τελική τιμή της αν ο Φ.Π,Α είναι 23%;
1ος τρόπος : Ο Φ.Π.Α ισούται με : 23/100 Χ 150 = 34,5 ευρώ
Τελική τιμή = Αρχική τιμή + Φόρος = 150 + 4,5 = 184,5 ευρώ
2ος τρόπος : Με το πινακάκι των ανάλογων ποσών.
Αρχική τιμή 100 150
Τελική τιμή 123 x
100 x =123 . 150
100 x = 18450
x = 18450 : 100
x = 184,50 ευρώ
27/1/2015
Για το διαγώνισμα στα κλάσματα υπενθυμίζω μερικά πράγματα:
1. Ισοδύναμα κλάσματα προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον ίδιο αριθμό στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος.
Επίσης ισοδύναμα κλάσματα προκύπτουν αν διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος.
Τέλος αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα ισχύει ο "νόμος του χιαστί". Τα χιαστί γινόμενα δηλαδή είναι ίσα.
2. Ανάγωγο κλάσμα λέγεται το κλάσμα που δεν απολοποιείται.Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή. Ετερώνυμα αυτά που δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
3. Αύξουσα σειρά κλασμάτων είναι μία σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο κλάσμα.
Φθίνουσα σειρά είναι η σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο.
4. Στην πρόσθεση και στην αφαίρεση κλασμάτων πρέπει να τα μετατρέψουμε οποσδήποτε σε ομώνυμα. Στον πολλαπλασιασμό και στην διαίρεση κλασμάτων όμως δεν τα μετατρεπουμε σε ομώνυμα. Την διαίρεση κλασμάτων την μετατρέπουμε σε πολλαπλασιασμό αντιστρέφοντας το δεύτερο κλάσμα.
5. Στο τελικό αποτέλεσμα μιας πράξης ή αριθμητικής παράστασης φροντίζουμε πάντα να απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει , αν αυτό γίνεται. Το αποτέλεσμα δηλαδή πρέπει να είναι ανάγωγο κλάσμα.
6. Σε μια αριθμητική παράσταση με κλάσματα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
1. Μετατροπές. (Μετατρέπουμε κάθε μεικτό αριθμό , ακέραιο αριθμό ή δεκαδικό σε κλάσμα).
2. Εφαρμόζουμε την προτεραιότητα των πράξεων:
α. Παρενθέσεις.
β, Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις.
γ. Προσθέσεις και αφαιρέσεις με τη σειρά που αναγράφονται.
13/11/2014
Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό α με όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Το μικρότερο πολλαπλάσιο κάθε αριθμού είναι το μηδέν. Δεν υπάρχει μεγαλύτερο πολλαπλάσιο.
Τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι άπειρα.
Ε.Κ.Π δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο , εκτός από το μηδέν κοινό τους πολλαπλάσιο.
Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
Ο μικρότερος διαιρέτης κάθε αριθμού είναι το 1 και ο μεγαλύτερος είναι ο εαυτός του.
Πρώτοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους.Οι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι.
Μ.ΚΔ δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους.
Δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν έχουν Μ.Κ.Δ ίσο με 1.
Προσοχή να διαβάσετε και τα κριτήρια διαιρετότητας!
Ερωτήσεις.
1. Να βρείτε όλους τους άρτιους πρώτους αριθμούς.
2 Ο αριθμός 43.641 είναι πρώτος ή σύνθετος αριθμός;
3. Οι αριθμοί77. 945 και 3.560 είναι πρώτοι μεταξύ τους ή όχι;
4. Ποιο είναι το Ε.Κ.Π των αριθμών : 3 , 9 , 3.456;
5. Το τριπλάσιο ενός φυσικού αριθμού είναι πρώτος ή σύνθετος αριθμός;
24 - 10 -2014
Άσκηση για γερούς λύτες!
28
Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 2 . (3 + 2 ) δια του 6.
22 - 10 - 2014
Παραδείγματα στην ευκλείδεια διαίρεση.
1. Να βρείτε έναν αριθμό που αν διαιρεθεί δια του 6 δίνει πηλίκο 32 και υπόλοιπο 2.
Λύση : Ο αριθμός που ζητάμε είναι ο διαιρετέος άρα : Δ = δ . π + υ = 6 . 32 + 2 = 194
2. Να εξετάσετε αν παριστάνουν ευκλείδειες διαιρέσεις οι παρακάτω ισότητες : α) 50= 3 . 16 + 2 , β ) 37 = 5 . 6 + 7
Λύση : Η ισότητα α) παριστάνει τη διαίρεση 50 : 16 που έχει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 2.
Η ισότητα β) δεν παριστάνει ευκλείδεια διαίρεση γιατί το υπόλοιπο 7 είναι μεγαλύτερο από τους πιθανούς διαιρέτες 5 ή 6.
21 - 10 - 2014
1. Τέλεια διαίρεση είναι η διαίρεση με υπόλοιπο μηδέν.
Δ = δ . π
Δ = Διαιρετέος
δ = διαιρέτης
π = πηλίκο
2. Ατελής ή ευκλείδεια διαίρεση είναι η διαίρεση με υπόλοιπο διαφορετικό του μηδενός.
Δ = δ . π + υ , υ <δ
Παρατήρηση : Σε μια ευκλείδεια διαίρεση το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.
Ερωτήσεις προβληματισμού
1. Η διαίρεση ενός φυσικού αριθμού δια το 7 μπορεί να έχει υπόλοιπο 9;
2. Ποια είναι τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός πενταψήφιου αριθμού δια το 4;
3. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός τετραψήφιου αριθμού δια του 2 γνωρίζοντας ότι δεν πρόκειται για τέλεια διαίρεση.
15 - 10 - 2014
Προτεραιότητα πράξεων.
1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.
2. Δυνάμεις.
3. Πολλαπλασιαασμοί - Διαιρέσεις
4. Προσθέσεις - αφαιρέσεις.
Δείτε λυμένα παραδείγματα παρακάτω στην ημερομηνία 20 - 10 - 2010
7 - 10 - 2014
Kάθε δύναμη με βάση το 1 ισούται με 1.
Για να υπολογίσουμε μια δύναμη του 10 γράφουμε το 1 και δεξιά του βάζουμε τόσα μηδενικά όσα μας λέει ο εκθέτης.
3 - 10 - 2014
Eφαρμογές στην επιμεριστική ιδιότητα
α. 3 . ( 7 + 6) = 3 . 7 + 3 . 6 Αντίστροφα : 3 . 7 + 3 . 6 = 3 ( 7 +6)
Παρομοίως : 6 . ( 5 + 11) = 6 . 5 + 6 . 11 και 6 . 5 + 6 . 11 = 6 . ( 5 + 11)
β. Να υπολογίσετε σύντομα την τιμή της παράστασης : 23 . 64 + 23 . 36
Λύση : 23 . 64 + 23 . 36 = 23 . ( 64 + 36 ) = 23 . 100 = 2300
γ. Να υπολογίσετε σύντομα τα γινόμενα : i) 45 . 101 , ii) 67 . 99 , iii) 24 . 1001
Λύση : i) 45 . 101 = 45 . ( 100 + 1) = 45 . 100 + 45 . 1 = 4500 + 45 = 4545
ii) 67 . 99 = 67 . ( 100 - 1) = 67 . 100 - 67 . 1 = 6700 - 67 = 6633
iii) 24 . 1001 = 24 . ( 1000 + 1) = 24 . 1000 + 24 . 1 = 24000 + 24 = 24024.
2 - 10 - 2014
Επιμεριστική ιδιότητα.
α . ( β + γ ) = α . β + α . γ
Παραδείγματα : 2 . ( 4 + 5) = 2 . 9 = 18
2 . 4 + 2 . 5 = 8 + 10 = 18
30 - 9 -2014
Δύναμη
Δύναμη με βάση έναν αριθμό α κι εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν είναι το γινόμενο στο οποίο πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της όσες φορές μας λέει ο εκθέτης.
Παρατήρηση : Η δύναμη δεν είναι γινόμενο μεταξύ διαφορετικών αριθμών. Είναι γινόμενο του ίδιου αριθμού επί τον εαυτό του. Η δύναμη είναι το "γινόμενο του μεθυσμένου" που βλέπει τον ίδιο αριθμό πολλές φορές να πολλαπλασιάζεται.
4
π.χ 3 = 3 . 3 . 3 . 3
29 - 9 - 2014
ΠΡΑΞΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ
Πρόσθεση άθροισμα
Αφαίρεση διαφορά
Πολλαπλασιασμός γινόμενο
Διαίρεση πηλίκο
26 - 9 -2014
Iδιότητες πολλαπλασιασμού
1. Αντιμεταθετική ιδιότητα : α . β = β . α
2. Προσεταιριστική ιδιότητα : α . ( β . γ) = (α . β) .γ
3. Ουδέτερο στοιχείο : α . 1 = α
Ο αριθμός 1 είναι ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπλασιασμό γιατί όποιος αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 1 δίνει γινόμενο το εαυτό του.
4. Απορροφητικό στοιχείο. : α . 0 = 0
Το μηδέν είναι απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό γιατί όποιος αριθμός πολλαπλασιαστεί με το μηδέν δίνει γινόμενο μηδέν.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ.
1. Ποιος αριθμός είναι ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπαλσιασμού και ποιος στην πρόσθεση;
2. Να συμπληρώσετε το κενό στην παρακάτω πρόταση:
Το μηδέν είναι ............................... στοιχείο στον πολλαπλασιασμό.
3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λανθασμένη πρόταση
Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει στην πρόσθεση , στην αφαίρεση , στην διαίρεση και στον πολλαπλασιασμό.
4. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα 20 : 5 και 5 : 20. Τι συμπέρασμα βγάζετε αναφορικά με την αντιθεταθετική ιδοότητα στη διαίρεση;
5. Ο Ντενί Γκετζ στο βιβλίο του : "Το θεώρημα του παπαγάλου" γράφει : " Το μηδέν είναι αδύναμο στην πρόσθεση , παντοδύναμο στον πολλαπλασιασμό και απαγορευμένο στη διαίρεση". Τι εννοεί;
25 - 9 - 2014
Ιδιότητες της πρόσθεσης
1. Αντιμεταθετική ιδιότητα : α + β = β + α
Μπορούμε να αλλάζουμε τη θέση δύο προσθετέων.
π.χ : Το άθροισμα 3 + 4 ισούται με 7. Παρομοίως το 4 + 3 ισούται επίσης με 7.
Δηλαδή : 3 + 4 = 4 + 3. Άρα με όποια σειρά κι αν προσθέσουμε δύο αριθμούς το αποτέλεσμα είναι ίδιο.
2. Προσεταιριστική ιδιότητα. (α + β) + γ = α + ( β + γ )
Μπορούμε να προσθέτουμε τρεις αριθμούς με όποια σειρά θέλουμε.
π.χ : Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς 3 + 4 + 5
1ος τρόπος : ( 3 + 4 ) + 5 = 7 + 5 = 12. Προσθέσαμε δηλαδή πρώτα τους δύο πρώτους και μετά τον τρίτο.
2ος τρόπος : 3 + ( 4 + 5) = 3 + 9 12. Προσθέσαμε δηλαδή πρώτα τους δύο τελευταίους και μετά τον πρώτο.
Βρήκαμε και στους δύο τρόπους το ίδιο αποτέλεσμα. Άρα ( 3 + 4 ) + 5 = 3 + ( 4 + 5) = 12.
3. Ουδέτερο στοιχείο. α + 0 = 0 + α =α
Όποιος αριθμός προσθεθεί με το μηδέν δίνει άθροισμα τον εαυτό του.
π.χ 5 + 0 = 5 , 8 + 0 = 8 . 567 + 0 = 567 , 0 + 9 = 9 , 0 +5 6 = 56 κ.λ.π.
Λέμε λοιπόν ότι ο αριθμός μηδέν είναι ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση γιατί δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Όποιος αριθμός προσθεθεί με το μηδέν δεν αλλάζει καθόλου αλλά παραμένει ο ίδιος.
24 - 9 - 2014
Καλή σχολική χρονιά με υγεία και πρόοδο!
ΑΛΓΕΒΡΑ
Στρογγυλοποίηση
Για να κάνουμε στρογγυλοποίηση έναν φυσικό αριθμό σε ένα ψηφίο του :
1. Γράφουμε τα ψηφία που βρίσκονται μπροστά του όπως είναι.
2. Μετατρέπουμε τα ψηφία που βρίσκονται πίσω του σε μηδενικά.
3. Το ίδιο ψηφίο το :
α. αφήνουμε όπως είναι αν το επόμενο του ψηφίο είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4.
β. το αυξάνουμε κατά μία μονάδα αν το επόμενο ψηφίο του είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9.
Παράδειγμα : Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό 34548 στην : α) δεκάδα , β) εκατοντάδα.
Λύση : α) 34550 , β) 34500
Άξονας
1. Πάνω σε μια ευθεία γραμμή τοποθετούμε σε ένα οποιοδήποτε σημείο του ένα σημείο Ο που αντιστοιχεί στον αριθμό 0.
2. Δεξιά του σημείου Ο γράφουμε ένα άλλο σημείο Α που αντιστοιχεί στον αριθμό 1.
3. Ανοίγουμε ένα διαβήτη με άνοιγμα το τμήμα ΟΑ. Με το ίδιο ακριβώς άνοιγμα βρίσκουμε σημεία Β , Γ, Δ κ.λ.π με μήκη ΟΑ = ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ..... Τα σημεία αυτά αντιστοιχούν στους αριθμούς 2 , 3 , 4 ....
Ασκήσεις για το σπίτι : 6 και 7 σελίδα 13
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010 - 2011
24/4/2014
Προσέξτε την παρακάτω άσκηση. Δώστε προσοχή σε δύο διαφορετικούς τόπους λύσης της.
Λύση 1 : α = 65° ως κατακορυφήν γωνίες.
β = 65° γιατί οι γωνίες α , β είναι εντός εναλλάξ.
γ = 65° γιατί οι β , γ είναι κατακορυφήν.
δ = 180 ° - 65° = 115° ως παραπληρωματικές γωνίες.
Λύση 2 : β = 65° γιατί είναι εντός εκτός κι επί τα αυτά.
α =65° ως κατακορυφήν
γ = 65° γιατί οι α , γ είναι εντός εκτός κι επί τα αυτά.
δ = 180 ° - 65° = 115° ως παραπληρωματικές γωνίες.
22/4/2015
Kανόνες προσήμων στον πολλαπλασιασμό και στην διαίρεση :
2/4/2015
Ύλη του τεστ μετά τις διακοπές του Πάσχα.
1. Πρόσθεση κι αφαίρεση ρητών αριθμών.
Παραδείγματα : α. -15 + 23 = + 8 , 15 - 23 = -8 , -15 - 23 = -38
β. (-5) - ( +8) = - 5 - 8 = - 13 , (- 9) - (- 5) = - 9 +5 = - 4
γ. Βάλτε στις τελίτσες το πρόσημο που λείπει ώστε να είναι σωστές οι ισότητες :
.... 6 - 7 = - 1 , - 8 ....11 = 3 , -12 .... 8 = ... 20
2. Άθροισμα πολλών προσθετέων :
Βήματα : 1. Διώχνουμε τους αντίθετους όρους αν υπάρχουν.
2. Χωρίζουμε τους θετικούς κι αρνητικούς αριθμούς.
3. Κάνουμε τις πράξεις.
Παράδειγμα : Να υπολογίσετε : -4 + 6 - 9 +11 + 4 + 9 -17 - 12 +8
Λύση : +6 + 11 -7 -12 + 8 = +6 +11 +8 - 17 -`12 = 25 -29 = - 4
3. Απαλοιφή παρενθέσεων.
Βλέπε παρακάτω την καταχώρηση στις 1/4/2015
Προσοχή : Πρώτα θα απαλείφετε παρενθέσεις και μετά θα διώχνετε αντίθετους.
Νέο παράδειγμα : - ( -5 +8 -4) - ( 7 -4 +6 + 8) +( -5 + 9) = +5 - 8 +4 - 7 +4 -6 -8 -5 +9 = 4 +4 +9 -8 - 7 -6 - 8 = 17 - 29 = - 12
1/4/2014
Απαλοιφή παρενθέσεων
1. Αν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο + ή δεν υπάρχει πρόσημο , διώχνουμε την παρένθεση και το + και γράφουμε τους όρους της ακριβώς όπως είναι.
2. Αν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο - , διώχνουμε την παρένθεση και το - και γράφουμε τους όρους της με αλλαγμμένα πρόσημα.
Παραδείγματα : (-5) - ( +7) = -5 -7 = -12
(+7) - ( + 9) = +7 - 9 = -2
-( - 5) - ( +8) = +5 -8 = -3
(-7 ) +( -8) -(-5) + ( -6) - ( +9) = -7 - 8 + 5 - 6 -9 =-7 -8 - 6 -9 + 5 = -30 + 5 = -25
28/2/2015
Ασκήσεις στα ποσοστά
Πρόβλημα 1. Ένα σακάκι αξίας 80 ευρώ πωλείται στην περίοδο των εκπτώσεων με έκπτωση 30%. Ποια είναι η τελική τιμή του με την έκπτωση;
1ος τρόπος : Η έκπτωση ισούται με : 30/100 Χ 80 = 24 ευρώ
Τελική τιμή = Αρχική τιμή - Έκπωση = 80 - 24 = 56 ευρώ
2ος τρόπος : Με το πινακάκι των ανάλογων ποσών.
Αρχική τιμή 100 80
Τελική τιμή 70 x
100 x = 70 . 80
100 x = 5600
x = 5600 : 100
x = 56 ευρώ
Πρόβλημα 2. Μια τηλεόραση πωλείται προς 150 ευρώ χωρίς Φ.Π.Α. Ποια είναι η τελική τιμή της αν ο Φ.Π,Α είναι 23%;
1ος τρόπος : Ο Φ.Π.Α ισούται με : 23/100 Χ 150 = 34,5 ευρώ
Τελική τιμή = Αρχική τιμή + Φόρος = 150 + 4,5 = 184,5 ευρώ
2ος τρόπος : Με το πινακάκι των ανάλογων ποσών.
Αρχική τιμή 100 150
Τελική τιμή 123 x
100 x =123 . 150
100 x = 18450
x = 18450 : 100
x = 184,50 ευρώ
27/1/2015
Για το διαγώνισμα στα κλάσματα υπενθυμίζω μερικά πράγματα:
1. Ισοδύναμα κλάσματα προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον ίδιο αριθμό στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος.
Επίσης ισοδύναμα κλάσματα προκύπτουν αν διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος.
Τέλος αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα ισχύει ο "νόμος του χιαστί". Τα χιαστί γινόμενα δηλαδή είναι ίσα.
2. Ανάγωγο κλάσμα λέγεται το κλάσμα που δεν απολοποιείται.Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή. Ετερώνυμα αυτά που δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
3. Αύξουσα σειρά κλασμάτων είναι μία σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο κλάσμα.
Φθίνουσα σειρά είναι η σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο.
4. Στην πρόσθεση και στην αφαίρεση κλασμάτων πρέπει να τα μετατρέψουμε οποσδήποτε σε ομώνυμα. Στον πολλαπλασιασμό και στην διαίρεση κλασμάτων όμως δεν τα μετατρεπουμε σε ομώνυμα. Την διαίρεση κλασμάτων την μετατρέπουμε σε πολλαπλασιασμό αντιστρέφοντας το δεύτερο κλάσμα.
5. Στο τελικό αποτέλεσμα μιας πράξης ή αριθμητικής παράστασης φροντίζουμε πάντα να απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει , αν αυτό γίνεται. Το αποτέλεσμα δηλαδή πρέπει να είναι ανάγωγο κλάσμα.
6. Σε μια αριθμητική παράσταση με κλάσματα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
1. Μετατροπές. (Μετατρέπουμε κάθε μεικτό αριθμό , ακέραιο αριθμό ή δεκαδικό σε κλάσμα).
2. Εφαρμόζουμε την προτεραιότητα των πράξεων:
α. Παρενθέσεις.
β, Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις.
γ. Προσθέσεις και αφαιρέσεις με τη σειρά που αναγράφονται.
13/11/2014
Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό α με όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Το μικρότερο πολλαπλάσιο κάθε αριθμού είναι το μηδέν. Δεν υπάρχει μεγαλύτερο πολλαπλάσιο.
Τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι άπειρα.
Ε.Κ.Π δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο , εκτός από το μηδέν κοινό τους πολλαπλάσιο.
Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
Ο μικρότερος διαιρέτης κάθε αριθμού είναι το 1 και ο μεγαλύτερος είναι ο εαυτός του.
Πρώτοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους.Οι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι.
Μ.ΚΔ δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους.
Δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν έχουν Μ.Κ.Δ ίσο με 1.
Προσοχή να διαβάσετε και τα κριτήρια διαιρετότητας!
Ερωτήσεις.
1. Να βρείτε όλους τους άρτιους πρώτους αριθμούς.
2 Ο αριθμός 43.641 είναι πρώτος ή σύνθετος αριθμός;
3. Οι αριθμοί77. 945 και 3.560 είναι πρώτοι μεταξύ τους ή όχι;
4. Ποιο είναι το Ε.Κ.Π των αριθμών : 3 , 9 , 3.456;
5. Το τριπλάσιο ενός φυσικού αριθμού είναι πρώτος ή σύνθετος αριθμός;
24 - 10 -2014
Άσκηση για γερούς λύτες!
28
Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 2 . (3 + 2 ) δια του 6.
22 - 10 - 2014
Παραδείγματα στην ευκλείδεια διαίρεση.
1. Να βρείτε έναν αριθμό που αν διαιρεθεί δια του 6 δίνει πηλίκο 32 και υπόλοιπο 2.
Λύση : Ο αριθμός που ζητάμε είναι ο διαιρετέος άρα : Δ = δ . π + υ = 6 . 32 + 2 = 194
2. Να εξετάσετε αν παριστάνουν ευκλείδειες διαιρέσεις οι παρακάτω ισότητες : α) 50= 3 . 16 + 2 , β ) 37 = 5 . 6 + 7
Λύση : Η ισότητα α) παριστάνει τη διαίρεση 50 : 16 που έχει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 2.
Η ισότητα β) δεν παριστάνει ευκλείδεια διαίρεση γιατί το υπόλοιπο 7 είναι μεγαλύτερο από τους πιθανούς διαιρέτες 5 ή 6.
21 - 10 - 2014
1. Τέλεια διαίρεση είναι η διαίρεση με υπόλοιπο μηδέν.
Δ = δ . π
Δ = Διαιρετέος
δ = διαιρέτης
π = πηλίκο
2. Ατελής ή ευκλείδεια διαίρεση είναι η διαίρεση με υπόλοιπο διαφορετικό του μηδενός.
Δ = δ . π + υ , υ <δ
Παρατήρηση : Σε μια ευκλείδεια διαίρεση το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.
Ερωτήσεις προβληματισμού
1. Η διαίρεση ενός φυσικού αριθμού δια το 7 μπορεί να έχει υπόλοιπο 9;
2. Ποια είναι τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός πενταψήφιου αριθμού δια το 4;
3. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός τετραψήφιου αριθμού δια του 2 γνωρίζοντας ότι δεν πρόκειται για τέλεια διαίρεση.
15 - 10 - 2014
Προτεραιότητα πράξεων.
1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.
2. Δυνάμεις.
3. Πολλαπλασιαασμοί - Διαιρέσεις
4. Προσθέσεις - αφαιρέσεις.
Δείτε λυμένα παραδείγματα παρακάτω στην ημερομηνία 20 - 10 - 2010
7 - 10 - 2014
Kάθε δύναμη με βάση το 1 ισούται με 1.
Για να υπολογίσουμε μια δύναμη του 10 γράφουμε το 1 και δεξιά του βάζουμε τόσα μηδενικά όσα μας λέει ο εκθέτης.
3 - 10 - 2014
Eφαρμογές στην επιμεριστική ιδιότητα
α. 3 . ( 7 + 6) = 3 . 7 + 3 . 6 Αντίστροφα : 3 . 7 + 3 . 6 = 3 ( 7 +6)
Παρομοίως : 6 . ( 5 + 11) = 6 . 5 + 6 . 11 και 6 . 5 + 6 . 11 = 6 . ( 5 + 11)
β. Να υπολογίσετε σύντομα την τιμή της παράστασης : 23 . 64 + 23 . 36
Λύση : 23 . 64 + 23 . 36 = 23 . ( 64 + 36 ) = 23 . 100 = 2300
γ. Να υπολογίσετε σύντομα τα γινόμενα : i) 45 . 101 , ii) 67 . 99 , iii) 24 . 1001
Λύση : i) 45 . 101 = 45 . ( 100 + 1) = 45 . 100 + 45 . 1 = 4500 + 45 = 4545
ii) 67 . 99 = 67 . ( 100 - 1) = 67 . 100 - 67 . 1 = 6700 - 67 = 6633
iii) 24 . 1001 = 24 . ( 1000 + 1) = 24 . 1000 + 24 . 1 = 24000 + 24 = 24024.
δ. Να εφαρμόσετε την επιμεριστική ιδιότητα : i) 3 .( x + 2 ) ii 5 . x + 7 . x
Λύση : i) 3 . ( x + 2) = 3 . x + 3 . 2 = 3 . x +6
ii) 5 . x + 7 . x = x . ( 5 + 7) = x . 12 = 12 . x
Λύση : i) 3 . ( x + 2) = 3 . x + 3 . 2 = 3 . x +6
ii) 5 . x + 7 . x = x . ( 5 + 7) = x . 12 = 12 . x
Επιμεριστική ιδιότητα.
α . ( β + γ ) = α . β + α . γ
Παραδείγματα : 2 . ( 4 + 5) = 2 . 9 = 18
2 . 4 + 2 . 5 = 8 + 10 = 18
30 - 9 -2014
Δύναμη
Δύναμη με βάση έναν αριθμό α κι εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν είναι το γινόμενο στο οποίο πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της όσες φορές μας λέει ο εκθέτης.
Παρατήρηση : Η δύναμη δεν είναι γινόμενο μεταξύ διαφορετικών αριθμών. Είναι γινόμενο του ίδιου αριθμού επί τον εαυτό του. Η δύναμη είναι το "γινόμενο του μεθυσμένου" που βλέπει τον ίδιο αριθμό πολλές φορές να πολλαπλασιάζεται.
4
π.χ 3 = 3 . 3 . 3 . 3
29 - 9 - 2014
ΠΡΑΞΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ
Πρόσθεση άθροισμα
Αφαίρεση διαφορά
Πολλαπλασιασμός γινόμενο
Διαίρεση πηλίκο
26 - 9 -2014
Iδιότητες πολλαπλασιασμού
1. Αντιμεταθετική ιδιότητα : α . β = β . α
2. Προσεταιριστική ιδιότητα : α . ( β . γ) = (α . β) .γ
3. Ουδέτερο στοιχείο : α . 1 = α
Ο αριθμός 1 είναι ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπλασιασμό γιατί όποιος αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 1 δίνει γινόμενο το εαυτό του.
4. Απορροφητικό στοιχείο. : α . 0 = 0
Το μηδέν είναι απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό γιατί όποιος αριθμός πολλαπλασιαστεί με το μηδέν δίνει γινόμενο μηδέν.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ.
1. Ποιος αριθμός είναι ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπαλσιασμού και ποιος στην πρόσθεση;
2. Να συμπληρώσετε το κενό στην παρακάτω πρόταση:
Το μηδέν είναι ............................... στοιχείο στον πολλαπλασιασμό.
3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λανθασμένη πρόταση
Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει στην πρόσθεση , στην αφαίρεση , στην διαίρεση και στον πολλαπλασιασμό.
4. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα 20 : 5 και 5 : 20. Τι συμπέρασμα βγάζετε αναφορικά με την αντιθεταθετική ιδοότητα στη διαίρεση;
5. Ο Ντενί Γκετζ στο βιβλίο του : "Το θεώρημα του παπαγάλου" γράφει : " Το μηδέν είναι αδύναμο στην πρόσθεση , παντοδύναμο στον πολλαπλασιασμό και απαγορευμένο στη διαίρεση". Τι εννοεί;
25 - 9 - 2014
Ιδιότητες της πρόσθεσης
1. Αντιμεταθετική ιδιότητα : α + β = β + α
Μπορούμε να αλλάζουμε τη θέση δύο προσθετέων.
π.χ : Το άθροισμα 3 + 4 ισούται με 7. Παρομοίως το 4 + 3 ισούται επίσης με 7.
Δηλαδή : 3 + 4 = 4 + 3. Άρα με όποια σειρά κι αν προσθέσουμε δύο αριθμούς το αποτέλεσμα είναι ίδιο.
2. Προσεταιριστική ιδιότητα. (α + β) + γ = α + ( β + γ )
Μπορούμε να προσθέτουμε τρεις αριθμούς με όποια σειρά θέλουμε.
π.χ : Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς 3 + 4 + 5
1ος τρόπος : ( 3 + 4 ) + 5 = 7 + 5 = 12. Προσθέσαμε δηλαδή πρώτα τους δύο πρώτους και μετά τον τρίτο.
2ος τρόπος : 3 + ( 4 + 5) = 3 + 9 12. Προσθέσαμε δηλαδή πρώτα τους δύο τελευταίους και μετά τον πρώτο.
Βρήκαμε και στους δύο τρόπους το ίδιο αποτέλεσμα. Άρα ( 3 + 4 ) + 5 = 3 + ( 4 + 5) = 12.
3. Ουδέτερο στοιχείο. α + 0 = 0 + α =α
Όποιος αριθμός προσθεθεί με το μηδέν δίνει άθροισμα τον εαυτό του.
π.χ 5 + 0 = 5 , 8 + 0 = 8 . 567 + 0 = 567 , 0 + 9 = 9 , 0 +5 6 = 56 κ.λ.π.
Λέμε λοιπόν ότι ο αριθμός μηδέν είναι ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση γιατί δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Όποιος αριθμός προσθεθεί με το μηδέν δεν αλλάζει καθόλου αλλά παραμένει ο ίδιος.
24 - 9 - 2014
Καλή σχολική χρονιά με υγεία και πρόοδο!
ΑΛΓΕΒΡΑ
Στρογγυλοποίηση
Για να κάνουμε στρογγυλοποίηση έναν φυσικό αριθμό σε ένα ψηφίο του :
1. Γράφουμε τα ψηφία που βρίσκονται μπροστά του όπως είναι.
2. Μετατρέπουμε τα ψηφία που βρίσκονται πίσω του σε μηδενικά.
3. Το ίδιο ψηφίο το :
α. αφήνουμε όπως είναι αν το επόμενο του ψηφίο είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4.
β. το αυξάνουμε κατά μία μονάδα αν το επόμενο ψηφίο του είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9.
Παράδειγμα : Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό 34548 στην : α) δεκάδα , β) εκατοντάδα.
Λύση : α) 34550 , β) 34500
Άξονας
1. Πάνω σε μια ευθεία γραμμή τοποθετούμε σε ένα οποιοδήποτε σημείο του ένα σημείο Ο που αντιστοιχεί στον αριθμό 0.
2. Δεξιά του σημείου Ο γράφουμε ένα άλλο σημείο Α που αντιστοιχεί στον αριθμό 1.
3. Ανοίγουμε ένα διαβήτη με άνοιγμα το τμήμα ΟΑ. Με το ίδιο ακριβώς άνοιγμα βρίσκουμε σημεία Β , Γ, Δ κ.λ.π με μήκη ΟΑ = ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ..... Τα σημεία αυτά αντιστοιχούν στους αριθμούς 2 , 3 , 4 ....
Ασκήσεις για το σπίτι : 6 και 7 σελίδα 13
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010 - 2011
Προτεραιότητα πράξεων
1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.
2. Δυνάμεις
3. Πολλαπλασιασμοί - Διαιρέσεις
4. Προσθέσεις - Αφαιρέσεις.
Παραδείγματα : α) 32 : 4 +5 . 8 -6
β) ( 6 + 12 ) : 9 + 6 . 4
γ) ( 1+ 4 . 5 ) : 7 - ( 12 - 4 ) : 4
α) 32 : 4 + 5 . 8 -6 = 8 + 40 - 6 = 48 - 6 = 42
------ ----
β) ( 6 + 12 ) : 9 + 6 . 4 = 18 : 9 + 6 . 4 = 2 + 24 = 26
---------- ---- -----
γ) ( 1+ 4 . 5 ) : 7 - ( 12 - 4 ) : 4 = ( 1 + 20 ) : 7 - 8 : 4 = 21 : 7 - 8 : 4 = 3 - 2 =1
----- -------- ---------
